Study Note for Machine Learning

2026-09-12

前言

Geoffery Hinton 也曾经说过“AI 质疑者一错再错，未来还会继续被打脸”。而最近，我确实深深感受到了自己被打脸了🫢，因为原本也是认为AI是一个噱头而已。 在18~19年的时候，我在中科院的MML待了一年多，当时主要的topic是deep learning in super resolution。当时我接触的项目、阅读的所谓”三大”顶会的论文给我的感觉是虽然performance一直在刷，但好像并不能实用（虽然现在大部分的paper也都是如此）。而后来，我开始从事event-based vision的工作，也是大量的deep learning-based 的方法，一般我看到用learning-based的方法arvix论文都会直接跳过😂。 但随着我在robotic领域的研究，特别是event-based SLAM在传统方法上遇到了瓶颈转而用learning-based framework取得重大进展，以及特斯拉的FSD end-to-end 的vision-to-autonomous driving的突破，我开始重新思考AI的价值。 而回过头来发现之前在learning领域的积累几乎全部忘光光了，为此以本博客作为一个学习的笔记，重新复习以及学习一下AI的基础知识。

Machine Learning

Supervised Learning

一些经典的Supervised Learning的例子,如下图。简单而言就是给定一些数据，然后给定一些label，然后让机器学习这个数据和label之间的关系，然后预测未知数据的label。 Supervised Learning可以分为两类：Classification和Regression。Classification是预测数据的label是离散的（分类），而Regression是预测数据的label是连续的（回归，拟合曲线，预测数值）。 回归一般是预测数字，可能有无穷多个值，而分类是预测类别，一般是有限个值。

Linear Regression Model (线性回归模型)

接下来通过实现一个线性回归模型来预测房价，来更好地理解Supervised Learning的基本原理。

流程可以总结如下图

而对于不同的方法其实关键就是f不一样，比如线性回归，那么可以定义为线性方程 f(x)=wx+b 不同的w与b有不同的表现，如下图

监督学习中，通过cost function不停更新迭代，优化w和b，使得f(x)/“y-hat”尽可能接近真实的y，也就是优化的目标（误差最小）。

Cost Function的直观理解

对于只有一个w参数的时候，cost function的图像如下，可以看到cost function是一个凸函数，只有一个最小值点。

而对于有两个参数的时候，cost function如下图所示：

这是一个convex function

gradient descent(梯度下降)

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法。在机器学习中，我们使用梯度下降来最小化cost function。梯度下降的基本思想是：从一个随机的w和b开始，然后不断迭代更新w和b，使得cost function最小化。公式化表达如下：

直观理解梯度下降法，如下图所示。从不同的点开始，可能进入不同的局部最小值点。

公式表达如下：

而所谓的局部最小值，可以理解为w和b不再进一步更新了。接下来通过一维的角度来直观理解learning rate和derivative（应该是partial derivative，偏导）。 首先是偏导数，可以理解为函数在某一点的斜率，也就是函数在这一点的变化率。根据偏导数的符号决定更新的方向，如下图所示。

而learning rate可以理解为每次迭代的步长，也就是w和b更新的幅度。 如果学习率太小，那么收敛速度会很慢；而如果学习率太大，那么可能会错过最小值点（Overshoot or even diverge, 出现抖动但无法收敛的情况）。

对于固定的学习率，会伴随着Derivative变小，update step也变小，最终到达local minimum。

学习率对于收敛效果的影响

一般如果遇到cost 不下降或者下降方式有问题可以先通过设置较小的学习率，看loss是否下降，如果下降，那么就是学习率太大导致的，但如果还是不下降，那么可能是代码有其他bug。

Gradient Descent for Linear Regression

上述偏微分的详细推导如下：

“Batch” gradient descent是指每次更新w和b都是基于(使用)所有的数据。

多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)

对应的线性回归模型可以表达如下：

进一步用矩阵/向量的形式表征如下：

Vectorization(向量化) for Coding

梯度下降计算向量化

更进一步的，把x添加一个维度，全为1，这样就可以把b也合并到w中，从而可以进一步简化代码。 向量化可以大大提高代码的运行速度，因为不需要循环，而是直接用矩阵运算（在代码的底层可以理解为并行运算）。

Feature Scaling（特征缩放）

在我们面对多维特征问题的时候，我们要保证这些特征都具有相近的尺度，这将帮助梯度下降算法更快地收敛。 解决的方法是尝试将所有特征的尺度都尽量缩放到-1到1之间。

Polynomial Regression（多项式回归）

有时候，线性回归并不能很好地拟合数据，这时候可以考虑多项式回归。

当然除了用平方根以外，还可以用根号

注意，多项式回归的特征缩放会更加重要，因为不同的特征的尺度差异会更大。

线性回归代码实现

详细请见:

Logistic Regression（逻辑回归）

上一节的线性回归是用来预测连续值的（回归问题），而逻辑回归是用来预测离散值的，也就是分类问题（Classification）。 而分类问题又可以分为二分类（Binary Classification）和多分类（Multiclass Classification）。 而逻辑回归函数表达如下图所示

从数学上来看就是线性回归+一个sigmoid函数

Decision Boundary（决策边界）

逻辑回归的cost function

线性回归中的Squared error cost不适用于逻辑回归，因为代入方程会发现它是非凸函数，会有很多局部最小值。

为了让cost function是凸函数，可以用如下的cost function

由于y只有y=1和y=0两种情况，因此简化loss function还是比较直接的（更上图下方的公式基本一样的，只是换数学符号表示而已~）：

Training Logistic Regression with Gradient Descent

跟线性回归的推导是结论是一样的，只是cost function不一样而已~ 但注意函数f也是不一样的！

逻辑回归代码实现

详细请见:

过拟合与正则化（Overfitting and Regularization）

欠拟合与过拟合是机器学习中常见的问题，欠拟合是模型过于简单，无法很好地拟合数据，而过拟合是模型过于复杂，过度拟合了训练数据，导致在测试数据上表现不佳。

解决过拟合的方法：

  • 增加训练样本，但是获取更多的训练数据一般是很难的
  • 进一步筛选特征
  • 正则化（Regularization）：去掉某些特征可以看作是把对应的特征的权重设置为0，但是这样可能会丢失一些重要的特征，而正则化可以理解为将部分特征的权重设置为很小，但同时又不丢失

如下图所示，通过对cost function添加正则项：也就是如果w3和w4太大，那么会导致cost function变大，从而减小w3和w4的值。

但实际上，是很难选出具体哪个特征需要正则化的，因此一般会对所有的特征都进行正则化。如下所示：

而对于权重的值越小，可以理解为模型越简单，也就是减小过拟合的可能性。

而正则化参数则是平衡拟合数据（overfit）以及减少权重（underfit）的作用。

接下来看看添加正则化项后的梯度下降：

线性回归中添加正则化项后的梯度下降
逻辑回归中添加正则化项后的梯度下降（跟线性回归几乎一样，只是function是sigmoid~）

Neural Network

大数据（Internet）以及GPU（硬件）的发展真正意义上推动了神经网络的发展

而逻辑回归可以简单理解为一个神经网络，如下图所示：

而进一步地，如果输入的特征更多，那么可以进一步增加神经网络，如下图所示：

而实际上，每一层的所有输出都是下一层的输入，而并不是如上图般只有某几个输入对应的

下面看看对于人脸识别任务，不同层输出的特征不一样，第一层可能是一些边缘特征（一些轮廓），而第二层可能是一些形状特征（比如眼睛、嘴巴），第三层可能是一些更加复杂的特征（更大区域的特征）。而这些特征将由网络自己去学习而不再是人工提取。如下图所示：

numpy与tensorflow的数据转换

numpy中表达矩阵：

而需要注意的是1D vector与1 x 2和2 x 1的区别，如下图所示：

numpy与tensorflow中的数据只是用不同的形式表征一个矩阵，但是实际上是一样的。

基于tensorflow的神经网络代码实现

一个简单的基于numpy实现的神经网络代码如下：

而基于tensorflow的代码实现如下：

接下来看看一个数字分类的模型。

基于python实现神经网络单层前向传播

一步一步的操作细看应该是没有问题的，当然具体实现的时候可能会各种小bug

进一步地简化代码（其实就是以function的形式，但是比起tensorflow的5行代码还是复杂不少~）如下：

向量化实现神经网络

首先是向量化代替循环，如下图所示：

矩阵乘法回顾：

代码实现矩阵乘法：

神经网络的向量化实现如下：

神经网络的训练

代码实现是非常直接的：

第一步是构建模型，第二部是给loss，第三步是进行训练以及规定迭代次数

与logistic regression的对比：

激活函数的选择

之所以要激活函数，是因为线性函数的叠加还是线性函数，而激活函数可以使得神经网络可以拟合非线性函数。（无激活函数的神经网络本质上就相当于线性回归了）

Sigmoid VS ReLU：

对于输出层的激活函数。根据不同的任务选择不同的激活函数：二分类一般采用sigmoid，而回归问题则是线性激活函数，而如果回归问题中只有正数，那么可以用ReLU。

而对于中间层的激活函数。ReLU是最常用的，因为它的计算速度快，而且不会出现梯度消失的问题（也就是大于0的情况下，走向不会变平，从而使得梯度下降不会变慢，函数的梯度变小了就会导致梯度下降法走得更慢）

总结激活函数的选择

基于NN的系列实验代码

实验测试代码请见:

Multiclass Classification

Softmax Regression

Logistic Regression VS Softmax Regression

Softmax Regression的cost function：

Neural Network with Softmax output

将Softmax Regression作为神经网络的输出层，如下图所示。进而可以实现多分类问题。

二分类 VS 多分类

基于tensorflow的代码实现如下：

注意通过减少中间值的计算，可以进一步的提升精度：

对于逻辑回归而言，是否这样做是没有关系的，引入的误差不大，但是对于softmax regression而言，这样做会更好

因此整体的代码实现如下：

Multi-label Classification

此类问题应该指的是一个样本可以有多个标签，而不是多分类问题。如下所示，一张图片的输入对应多个label：

比梯度下降更好的优化方法（Adam Algorithm）

首先再次回忆一下基本的梯度下降法，而所谓的Adam Algorithm就是对梯度下降法的改进，就是自适应的调节学习率

此处略掉实际的推导过程，直接给出实现代码如下：

其他不同的网络层类型

之前介绍的一直都是dense layer：

最经典的应该是卷积层：

在后序deep learning部分应该是会详细介绍的，这里就不展开了。

基于NN实现手写数字识别（多分类问题）

Debugging a learning algorithm

对于一个算法，如果发现它的表现不好，那么可以采用的debug的方法有：

评估模型的方法

当模型存在过拟合的情况，如果是简单的函数，可以通过画图可视化，但是如果有多个输入的feature，很难通过图例来直观感受学习到的函数对数据的拟合情况

那么实际上可以把数据集分为训练集和测试集（例如，7、3分），训练集用来训练模型，而测试集用来评估模型的性能。而如果模型在训练集上表现很好，但是在测试集上表现很差，那么就是过拟合的情况。如下图所示：

注意计算error的时候是不需要正则化的

而对于分类问题中，评估模型的方法则是：

模型的选择以及交叉验证集（cross validation）

直接的方式就是穷举几个模型，然后选择最好的：

但是上面这种做法会导致所选择的模型在测试集上表现好，再用来验证泛化能力就没有说服力了。 那么进一步的，可以将数据集分为三个：训练集、交叉验证集、测试集。训练集用来训练模型，交叉验证集用来选择模型，而测试集用来评估模型的性能。如下图所示：

而进一步的，验证模型的性能也是类似上面验证集的方式：

这样就通过交叉验证集来选择模型，而通过测试集来评估模型的性能，这样来评价模型的泛化能力则是公平的。

Bias and Variance

实际上感觉就是衡量是否过拟合和欠拟合的：

从另外一个角度来看，bias和variance的关系如下：

不同的模型对于bias和variance的影响

接下来看看正则化是如何影响bias和variance的：

类似于选择模型的方式，可以通过交叉验证集来选择正则化参数，而通过测试集来评估模型的性能。

进一步地，查看正则化参数对bias和variance的影响：

不过这部分的insight其实是比较少，基本这一整章节都是，质量很低，，怪不得youtube上视频都去掉这部分hhh

Learning Curves（学习曲线）

随着训练集的增加，训练集和交叉验证集的error的变化如下：

训练集上的error随着训练集的增加而增加，而交叉验证集上的error随着训练集的增加而减小。这是因为训练集越大，模型拟合全部数据是更难的，而又由于数据的样本量增大，模型的泛化能力也会增强，所以交叉验证集上的error会减小。 但是无论怎么用在交叉验证集上的error都比训练集上的error要大，这是因为模型是在训练集上训练的，所以训练集上的error会小于交叉验证集上的error。

注意更多的训练集只是对过拟合的模型有效的，对于欠拟合的模型是没有用的。因此虽然learning是数据驱动的，但是也是需要模型足够的强，大数据才有用！

而相反对于过拟合的模型，则是如下（图应该是没画好，是有机会比人类的性能要好的）：

基于神经网络的bias与variance分析

前面都是基于线性回归的，此处看看基于神经网络的debugging，但本质上其实是一样的~

此外一般通过合适的正则化参数，更大的神经网络模型一般会有更好的性能：

数据增广（data augmentation）

除了数据增广以外也可以通过合成/仿真的数据来训练模型。

迁移学习（transfer learning）

所谓的迁移学习就是将一个模型的参数作为另一个模型的初始参数（或fixed大部分，仅改变某些参数），然后再进行训练。这样可以加速模型的训练，提升模型的性能。 换句话说也就是利用别的task中的数据（训练好的模型），如下图所示：

而网络的可解析性其实是可以进行迁移学习的一个关键，如下所示，网络所训练的参数实现的功能是可以用于不同的task的（但注意，输入的类型需要一样，比如cv的输入都是image，一般不可能用NLP的网络来作为预训练模型~）

提升模型性能的总结及系列实验

首先总结一下提升模型性能的方法：

Unsupervised Learning

与Supervised Learning不同，Unsupervised Learning是没有label的，也就是说，目标是找到数据的结构或者模式，比如聚类（clustering），异常检测（Anomaly Detection）,降维（Dimensionality Reduction）等。

Clustering（聚类）

输入的数据并没有label，也没有办法告诉模型什么才是“正确”的答案。

K-means

首先是随机初始化K（下图是两个）个中心点，然后不断的迭代，直到中心点不再变化为止。如下图所示：

将上述过程总结为如下：

若出现某个中心点没有数据点与之对应，那么可以将其删掉变为k-1个中心点或者重新初始化

而对于数据之间界限没有明显的区分的情况，如下图所示：

K-means也有它的优化目标，两个step的本质都是将cost最小化。如下所示：

进一步的，初始化K-means也是非常重要的，不恰当的选择容易导致局部最优解。如下图所示：

不过可以通过多次计算，然后选择cost最小的结果，来避免局部最优解的问题。

而选择合适的K值也是非常重要的，可以通过如下的方法来选择：

本质上两种的选法都是对的，因为这是非监督学习，没有所谓的“正确”答案，只有合适的答案

基于Elbow（肘部）method的K选择方法如下：

但实际不一定是一个明显的拐点，所以这个方法也不是很好，很容易选择非常大的K值

进一步的，通过下游任务的效果来看，选择合适的K值也是一个方法：

Anomaly Detection（异常检测）

而实现检测最常用的方式就是density estimation（密度估计），也就是找到数据的分布。如下图所示：

基于Gaussian（Normal）Distribution的异常检测方法：

而对于多维特征，可以通过独立分布的原则来计算：

总结异常检测的流程如下：

接下来通过一个例子来更直观的认识异常检测：

对于异常检测,若有真实的label数据来评估模型的性能则可以比较好的获得阈值.但是为何不直接用supervise Learning呢?分析对比如下:

进一步地,对于异常检测系统而言,选择合适的特征是非常重要的. 首先保证特征尽量服从高斯分布是非常重要的,因为异常检测的基础是基于高斯分布的:

接下来看看缺陷检测的误差分析,通过引入新的特征来提升模型的性能:

K-means与异常检测的实验代码

Reinforcement Learning

强化学习是要告诉模型什么是“正确”的答案，而是通过奖励来告诉模型什么是“好”的行为。也就是告诉模型what to do而不是how to do it，由模型自己来学习如何做。

RL的核心：状态（state），动作（action），奖励（reward），下一状态（next state）。

RL的Return（回报）是指从当前状态开始，未来所有奖励的总和，需要综合考虑成本和效益（下面额外加了一个discount factor）。

从不同的状态开始会获得不同的return，因此基于不同的状态选择不同的动作是非常重要的。

RL的策略（policy）有不同，比如以最近的reward，以最大的或者最小的reward，又或者基于return来选择。

而RL的目标其实就是找到最优的策略，使得对于每个state采取什么样的action使得return最大化。

下面总结一下上面的几个概念在不同的应用场景的表现：

而上述的也被称为MDP（Markov Decision Process），the future only depend on the current state。

State-action value function/Q-function

此处的数学计算好像有点问题，但是按原始概念来看应该是ok的

Bellman方程

Bellman方程是用来计算Q-function的，也就是用来计算在某个state下采取某个action的return。如下图所示：

有点类似于递归/动态规划的概念~

接下来通过一个例子来直观理解这个方程

进一步理解Bellman方程的意义：

进一步的，由于action实际上可能有误差，因此应该为系列return的期望值：

Deep Reinforcement Learning

训练一个神经网络来学习Q-function，也就是DQN（Deep Q-Network）。如下图所示：

通过仿真各种state下的action的情况来获取训练数据：

进一步地，DQN可以采用更有效的结构，如下（同时输出四个action）：

ϵ-贪婪策略

ϵ-贪婪策略是指在训练的过程中，以一定的概率ϵ来选择随机的action，而不是根据Q-function来选择action(这样可以避免由于初始化不够好导致陷入局部最优)。如下所示：

ϵ对应的是一个随机的action，而1-ϵ对应的是根据Q-function选择的action

Mini-batch与soft updates

此处提供两个策略来提升模型的性能，一个是mini-batch，一个是soft updates。

当样本量很大时，可以通过mini-batch的方式来训练模型（将全部数据分为若干个batch），而不是一次性全部输入。如下图所示：

这样做的好处是可以减少计算量，提高训练速度。（虽然每一次获得的结果可能会更noise一些，但是更高效，最终的结果应该是差不多的~）

而所谓的soft updates是指每次更新模型的时候，不是直接将新的Q-function替换掉旧的，而是通过一个参数来控制新旧Q-function的比例。如下图所示：

基于强化学习的实验代码

Deep Learning

由于篇幅有限，关于Deep Learning的内容将在博客中详细介绍。

Artifical General Intelligence (AGI)

ANI vs AGI

参考资料